Lernpfad:Das Dualsystem/8

Das Addieren von Zahlen in den verschiedenen Stellenwertsystemen ist gar nicht so schwer, wenn Du Dich an der Addition der Dezimalzahlen orientierst. Schließlich ist das Dezimalsystem auch nur ein Stellenwertsystem, in diesem Fall zur Basis 10. Hast Du das Prinzip durchschaut, lässt es sich leicht auf andere Basen übertragen.

Arbeitsauftrag

Überlege Dir zunächst alleine, wie Du zwei Dualzahlen miteinander addieren kannst. Rechne dabei die Zahlen noch nicht ins Dezimalsystem um, sondern versuche in Verfahren mit Dualzahlen zu finden.

1. [math]\displaystyle{ (0101)_2 + (1100)_2 }[/math]
2. [math]\displaystyle{ (1010)_2 + (0011)_2 }[/math]

Arbeitsauftrag

Suche Dir nun eine Partner:in und vergleicht Eure Ideen für ein Rechenverfahren miteinander. Habt ihr dieselben Ergebnisse?

Rechnet weitere Beispiele und prüft die Ergebnisse diesmal, indem ihr die Zahlen ins Dezimalsystem umrechnet.

1. [math]\displaystyle{ (11100)_2 + (00011)_2 }[/math]
2. [math]\displaystyle{ (11011)_2 + (01001)_2 }[/math]

Lösung

Die Addition im Dezimalsystem wird stellenweise von rechts nach links ausgeführt: zuerst die Einer, dann die Zähler usw. Falls die Summe der Ziffern an einer Stelle die größte Ziffer überschreitet (also die 9), wird die nächsthöhere Stelle um eins erhöht. Diese +1 für die nächste Stelle ist der Übertrag.

Dasselbe Prinzip kann im Dualsystem angewandt werden, aber mit der höchsten Ziffer 1.

1. [math]\displaystyle{ (0101)_2 + (1100)_2 = (10001)_2 }[/math]
2. [math]\displaystyle{ (1010)_2 + (0011)_2 = (1101)_2 }[/math]

1. [math]\displaystyle{ (11100)_2 + (00011)_2 = (11111)_2 }[/math]
2. [math]\displaystyle{ (11011)_2 + (01001)_2 = (100100)_2 }[/math]

Das Problem mit dem Überlauf

Der Computer hat nicht unbegrenzt Speicherplatz. Normalerweise ist die Größe der Dualzahlen begrenzt, mit denen er rechnen kann. Zur Vereinfachung legen wir die maximale Länge auf 4-Bit fest. Wir addieren also Zahlen mit vier Bit und das Ergebnis hat auch vier Bit. (Bei weniger Bits füllen wir den Rest mit Nullen auf.)

Arbeitsauftrag

Berechne folgende Ergebnisse der 4-Bit Addition:

1. [math]\displaystyle{ (0001)_2 + (0001)_2 }[/math]
2. [math]\displaystyle{ (0011)_2 + (0001)_2 }[/math]
3. [math]\displaystyle{ (0111)_2 + (0001)_2 }[/math]
4. [math]\displaystyle{ (1111)_2 + (0001)_2 }[/math]

Welches Problem kann auftreten, wenn das Ergebnis nur maximal 4-Bit haben darf?

Addition mit anderen Basen

Arbeitsauftrag

Wende die Addition auf andere Zahlensysteme an:

1. [math]\displaystyle{ (5D)_{16} + (14)_{16} }[/math]
2. [math]\displaystyle{ (162)_{8} + (37)_{8} }[/math]
3. [math]\displaystyle{ (33)_{4} + (102)_{4} }[/math]

Lösung

1. [math]\displaystyle{ (5D)_{16} + (14)_{16} = (71)_{16} }[/math]
2. [math]\displaystyle{ (162)_{8} + (37)_{8} = (221)_8 }[/math]
3. [math]\displaystyle{ (33)_{4} + (102)_{4} = (201)_4 }[/math]